Flèche d'une poutre : formules des 6 cas courants et calculateur

1. Calculateur de flèche

Choisissez le cas, le système d'unités, puis saisissez la charge, la portée, le module d'Young et le moment quadratique de la section (calculez-le avec le calculateur de moment quadratique). Le module de flexion W est facultatif : il donne la contrainte maximale.

2. Formules des 6 cas courants

Poutre droite de section constante, matériau élastique, petites déformations (théorie d'Euler-Bernoulli). F : charge ponctuelle ; q : charge répartie par unité de longueur ; L : portée ; E : module d'Young ; I : moment quadratique de la section autour de l'axe de flexion.

Les réactions d'appui d'une poutre symétrique valent la moitié de la charge totale (F/2 ou q·L/2) ; une console reprend toute la charge à l'encastrement (F ou q·L), plus le moment. La charge répartie q inclut le poids propre si on veut en tenir compte : q = masse linéique × g.

3. Module d'Young et flèche admissible

La flèche dépend du module d'Young E, pas de la résistance : un acier S355 fléchit exactement comme un S235. Valeurs usuelles de calcul :

Flèche admissible. Il n'y a pas de valeur universelle : c'est un critère d'usage. En construction, on vise couramment L/200 à L/300 selon l'élément, avec les valeurs fixées par l'Eurocode 3 et son annexe nationale ; aux États-Unis, l'IBC retient L/360 pour un plancher sous charges d'exploitation. Pour un bâti de machine, un guidage ou un support de capteur, la limite vient de la précision demandée et elle est souvent bien plus sévère : on part alors de la tolérance de position à tenir.

La flèche ne dit rien de la résistance : vérifiez aussi la contrainte σ = M / W contre la limite élastique du matériau, voir les aciers S235, S275 et S355.

4. Exemples chiffrés

Plat d'acier sur deux appuis (unités métriques)

• Section 20 × 60 mm posée sur chant : I = b·h³/12 = 20 × 60³ / 12 = 360 000 mm⁴ ; W = b·h²/6 = 12 000 mm³.
• Portée L = 1 000 mm, charge F = 2 000 N au milieu, E = 210 000 MPa.
• Flèche : f = 2 000 × 1 000³ / (48 × 210 000 × 360 000) = 0,551 mm, soit L/1814.
• Moment : M = F·L/4 = 500 000 N·mm ; contrainte σ = M/W = 41,7 MPa, loin de la limite élastique d'un S235.
• Poids propre : 1 200 mm² × 7 850 kg/m³ = 9,42 kg/m, soit q = 0,0924 N/mm ; f = 5 × 0,0924 × 1 000⁴ / (384 × 210 000 × 360 000) = 0,016 mm. Les deux flèches sont au milieu et s'additionnent : 0,567 mm au total. Masse volumique des autres métaux : tableau des masses volumiques.

Barre d'acier en console (unités américaines)

• Barre 1 × 2 in sur chant : I = 1 × 2³ / 12 = 0,667 in⁴ ; W = 1 × 2² / 6 = 0,667 in³.
• Console de 24 in, 200 lbf en bout, E = 29 000 000 psi.
• Flèche : f = 200 × 24³ / (3 × 29 000 000 × 0,667) = 0,0477 in (1,21 mm), soit L/503.
• Moment à l'encastrement : M = F·L = 4 800 lbf·in ; contrainte σ = M/W = 7 200 psi (49,6 MPa).

5. Réduire la flèche, et les limites des formules

Pour une section rectangulaire b × h, la flèche varie comme F·L³ / (E·b·h³). Les leviers n'ont donc pas du tout le même poids :

• Raccourcir la portée ou ajouter un appui intermédiaire : le levier le plus puissant.
• Mettre la matière loin de l'axe : poser un plat sur chant, choisir un tube ou un profilé en I plutôt qu'un plein de même masse, voir le moment quadratique des sections.
• Encastrer les extrémités : sous charge au milieu, une poutre bi-encastrée fléchit 4 fois moins que sur appuis simples (5 fois moins sous charge répartie), à condition que l'encastrement soit vraiment rigide.
• Superposition : tant que le matériau reste élastique, les flèches de plusieurs charges au même point s'additionnent, comme le poids propre et la charge dans l'exemple ci-dessus.

Limites. Ces formules supposent un matériau élastique (σ sous la limite élastique), de petites flèches et une poutre élancée : elles négligent la déformation due à l'effort tranchant, qui n'est plus négligeable quand la portée est courte devant la hauteur (L/h inférieur à environ 10). Un encastrement réel n'est jamais parfaitement rigide : la vraie flèche se situe entre le cas encastré et le cas sur appuis. Pour une charge décentrée, plusieurs charges ou une section variable, passez par la superposition, un formulaire de résistance des matériaux plus complet ou un calcul par éléments finis.

6. FAQ

Quelle est la formule de la flèche d'une poutre sur deux appuis ?

Sous une charge F au milieu : f = F·L³ / (48·E·I). Sous une charge répartie q sur toute la longueur : f = 5·q·L⁴ / (384·E·I). Dans les deux cas, la flèche maximale est au milieu de la portée.

Quelle est la flèche d'une poutre en console ?

Charge F en bout : f = F·L³ / (3·E·I). Charge répartie q : f = q·L⁴ / (8·E·I). La flèche est maximale à l'extrémité libre, et le moment maximal est à l'encastrement : F·L ou q·L²/2.

Quelle flèche admissible prendre ?

En construction, on vise couramment L/200 à L/300 selon l'élément, valeurs fixées par l'Eurocode 3 et son annexe nationale ; aux États-Unis, l'IBC retient L/360 pour un plancher sous charges d'exploitation. Un bâti de machine se dimensionne d'après la précision demandée, souvent bien plus sévère.

Quelles unités utiliser dans les formules de flèche ?

Des unités cohérentes : N, mm, MPa (N/mm²) et mm⁴ donnent une flèche en mm ; lbf, in, psi et in⁴ donnent une flèche en pouces. La charge répartie q s'exprime alors en N/mm ou en lbf/in.

Comment réduire la flèche d'une poutre ?

Raccourcir la portée est le plus efficace, la flèche variant comme L³ ou L⁴. Ensuite, augmenter la hauteur de la section (I varie comme h³), encastrer les extrémités (une poutre bi-encastrée fléchit 4 à 5 fois moins que sur appuis simples) ou choisir un matériau plus rigide.