Flambement d'Euler : charge critique, coefficient K, élancement et calculateur

1. Calculateur de flambement

Choisissez les appuis, la section et ses cotes, la longueur et le matériau. La limite élastique et la charge appliquée sont facultatives : la première donne le domaine de validité d'Euler et la charge de Johnson, la seconde le coefficient de sécurité.

2. Conditions d'appui et coefficient K

La longueur de flambement vaut L_f = K·L : c'est la longueur de la demi-onde de la déformée. Les valeurs théoriques supposent des encastrements parfaits ; comme aucun ne l'est, le commentaire de la spécification américaine AISC 360 publie des valeurs recommandées plus prudentes. La 5^e condition (guidée) désigne une extrémité qui ne tourne pas mais peut se déplacer latéralement.

La dernière colonne compare la charge critique théorique à celle de la barre bi-articulée de même longueur : elle varie comme 1/K².

3. Élancement, validité d'Euler et parabole de Johnson

L'élancement λ = K·L / r, avec le rayon de giration r = √(I/A), résume la sensibilité de la barre au flambement. La contrainte critique d'Euler vaut σ_cr = π²·E / λ². Elle n'a de sens que si elle reste nettement sous la limite élastique R_e : pour une barre trapue, c'est la plastification, pas le flambement élastique, qui limite la charge.

La parabole de Johnson part de R_e pour une barre très courte et rejoint la courbe d'Euler, tangente, à λ_t, où la contrainte critique vaut R_e/2. Avec E = 210 000 MPa, λ_t vaut environ 133 pour un S235 et 108 pour un S355. Au-delà, Euler s'applique ; en deçà, on prend Johnson. Les limites élastiques des aciers de construction sont dans le mémo S235, S275 et S355.

4. Exemples chiffrés

Rond d'acier Ø 20 mm (unités métriques)

• I = π × 20⁴ / 64 = 7 854 mm⁴ ; A = 314,2 mm² ; r = √(I/A) = 5 mm.
• Longueur 1 000 mm entre deux articulations (K = 1) : λ = 200 ; P_cr = π² × 210 000 × 7 854 / 1 000² = 16,3 kN (σ_cr = 51,8 MPa). λ > 133 : Euler s'applique pour un S235.
• La même barre encastrée en pied et libre en tête (K = 2) : λ = 400, P_cr = 4,07 kN, quatre fois moins.
• Raccourcie à 300 mm (K = 1) : λ = 60, sous λ_t. Euler donnerait 181 kN (σ = 576 MPa, au-delà de R_e) ; Johnson donne σ_cr = 235 − 235² × 60² / (4π² × 210 000) = 211 MPa, soit 66,3 kN.

Tube d'acier en pouces (unités américaines)

• Tube Ø 1,5 in, paroi 0,120 in : I = 0,1248 in⁴ ; A = 0,520 in² ; r = 0,490 in.
• Longueur 72 in, deux articulations, E = 29 000 000 psi : λ = 147 ; P_cr = 6 890 lbf (σ_cr = 13 240 psi).
• Pour un acier A36 (R_e = 36 000 psi), λ_t = 126 : λ = 147 est au-delà, Euler s'applique.

5. En pratique : axe faible, sécurité, normes

• L'axe faible : à appuis égaux, la barre flambe autour de l'axe de plus petit moment quadratique. Un plat 10 × 40 flambe autour de son petit côté (I = 40 × 10³ / 12 = 3 333 mm⁴), seize fois moins rigide que sur chant. Les moments quadratiques des sections courantes sont dans le mémo du moment quadratique.
• La sécurité : la charge critique est une limite d'instabilité, atteinte sans prévenir. Une vraie barre n'est jamais parfaitement droite ni chargée parfaitement dans l'axe, et sa charge de ruine est inférieure à P_cr : on applique un coefficient de sécurité nettement supérieur à 1, que fixe la norme ou le cahier des charges.
• Les normes : pour une structure en acier, l'Eurocode 3 (courbes de flambement et coefficient de réduction χ) ou l'AISC 360 aux États-Unis remplacent Euler et Johnson, en intégrant défauts et contraintes résiduelles. Euler et Johnson restent la bonne approche pour une pièce de machine, une biellette ou une tige de vérin, et pour un premier dimensionnement.
• Les leviers : raccourcir la barre ou ajouter un appui intermédiaire (la charge critique varie comme 1/L²), encastrer les extrémités, ou mettre la matière loin de l'axe (un tube plutôt qu'un rond plein de même masse).

6. FAQ

Quelle est la formule de la charge critique d'Euler ?

Pcr = π²·E·I / (K·L)², avec E le module d'Young, I le plus petit moment quadratique de la section, L la longueur de la barre et K le coefficient qui dépend des appuis (1 pour deux articulations, 2 pour une console).

Quel coefficient K prendre ?

En théorie : 0,5 bi-encastrée, 0,7 encastrée-articulée, 1 bi-articulée, 2 encastrée-libre. Un encastrement réel n'étant jamais parfait, le commentaire de la norme américaine AISC recommande 0,65, 0,80, 1,0 et 2,1 pour ces mêmes cas.

Quand la formule d'Euler est-elle valable ?

Pour une barre élancée, dont la contrainte critique reste sous la limite élastique. Avec la parabole de Johnson, la limite se situe à un élancement λ = π·√(2·E/Re), soit environ 133 pour un acier S235 et 108 pour un S355. En dessous, Euler surestime la charge.

Qu'est-ce que l'élancement d'une barre ?

Le rapport entre la longueur de flambement K·L et le rayon de giration r = √(I/A) de la section. Plus il est grand, plus la barre flambe facilement : la contrainte critique d'Euler vaut π²·E / λ².

Autour de quel axe une barre flambe-t-elle ?

Autour de l'axe de plus faible moment quadratique, à conditions d'appui égales. Un plat 10 × 40 flambe autour de son petit côté, avec I = 40 × 10³ / 12, pas autour du grand.