Ajustement serré et frettage : pression de contact, couple transmissible et calculateur

1. Les formules de l'ajustement serré

Notations : d diamètre de contact (nominal), D diamètre extérieur du moyeu, d_i alésage de l'arbre (0 pour un arbre plein), L longueur de contact, δ serrage diamétral (diamètre de l'arbre moins diamètre de l'alésage), E module d'Young, ν coefficient de Poisson, μ coefficient de frottement. Indice m pour le moyeu, a pour l'arbre.

Les unités doivent être cohérentes : mm et MPa donnent p en MPa, F en N et T en N·mm (÷ 1 000 pour des N·m) ; pouces et psi donnent p en psi, F en lbf et T en lbf·in. Le serrage δ est diamétral : si vous partez d'un serrage au rayon, doublez-le.

2. Exemples en mm et en pouces

Arbre Ø 50 en acier dans un moyeu en acier (unités métriques)

Arbre plein Ø 50 mm, moyeu de diamètre extérieur 100 mm, longueur de contact 50 mm, acier E = 210 000 MPa, ν = 0,3. Ajustement H7/p6 : l'alésage est à 0 / +25 µm et l'arbre à +26 / +42 µm (voir le tableau ISO 286), soit un serrage de 1 à 42 µm. Calcul au serrage maximal, δ = 0,042 mm, avec μ = 0,1 :

Au serrage minimal du même H7/p6 (1 µm), la pression tombe à 1,6 MPa et le couple garanti à 31 N·m seulement : l'ajustement p6 suffit à positionner une pièce, pas à transmettre un couple important. Pour cela, il faut un ajustement plus serré ou un élément de liaison (clavette, cannelures).

Arbre Ø 2 in en acier (unités américaines)

Arbre plein Ø 2 in, moyeu Ø 4 in, longueur 2 in, acier E = 30 000 000 psi, serrage δ = 0,0016 in, μ = 0,1 : p = 30 000 000 × 0,0016 / 4 × (16 − 4)/16 = 9 000 psi ; σ_t = 9 000 × 20/12 = 15 000 psi ; F = 0,1 × 9 000 × π × 2 × 2 = 11 310 lbf ; T = 11 310 × 1 = 11 310 lbf·in, soit 942 lbf·ft.

3. Calculateur d'ajustement serré

Saisissez la géométrie, le serrage diamétral et les matériaux. Le calcul se fait dans votre navigateur avec les formules de la section 1 ; la limite d'élasticité est facultative.

Valeurs par défaut : l'exemple métrique ci-dessus. En unités américaines, α se saisit en 10⁻⁶/°F (acier : 6,7) et ΔT sort en °F. Les coefficients de dilatation des autres matériaux sont dans le tableau de dilatation thermique.

4. Serrage minimal et maximal : deux calculs différents

Un ajustement serré n'a pas un serrage, mais une plage, fixée par les tolérances de l'alésage et de l'arbre. Chaque extrémité de la plage sert à un calcul :

• Serrage minimal → couple et effort axial garantis. C'est la valeur à comparer au couple à transmettre, avec un coefficient de sécurité.
• Serrage maximal → contraintes du moyeu (la plus forte est la contrainte tangentielle au bord de l'alésage), effort de presse et température de frettage.
• État de surface : au montage, les crêtes de rugosité s'écrasent et le serrage effectif est plus faible que le serrage mesuré. Les méthodes de calcul normalisées retranchent une part de la rugosité des deux surfaces ; plus les surfaces sont lisses (Ra faible), moins la perte est grande.
• Température de service : si le moyeu se dilate plus que l'arbre, le serrage diminue de (α_m − α_a) × d × ΔT. Un moyeu en aluminium (23 × 10⁻⁶/K) sur un arbre en acier (12 × 10⁻⁶/K) de Ø 50 perd 0,044 mm à +80 K : tout le serrage maximal d'un H7/p6.

5. Montage à la presse ou à chaud

À la presse (emmanchement), l'effort à fournir est de l'ordre de F = μ·p·π·d·L calculé au serrage maximal, avec le coefficient de frottement de glissement de l'emmanchement. Il croît avec l'enfoncement, car la longueur en contact augmente. Un chanfrein d'entrée sur l'arbre ou l'alésage guide les pièces et évite d'arracher de la matière.

À chaud (frettage), on dilate le moyeu jusqu'à ce que son alésage dépasse l'arbre d'un jeu j : ΔT = (δ + j)/(α·d). L'arbre peut aussi être refroidi (azote liquide, neige carbonique) : la même formule s'applique avec le coefficient de l'arbre. Le montage à chaud n'use pas les surfaces et donne en général un serrage effectif plus proche du serrage mesuré qu'à la presse. Vérifiez que la température de chauffe reste sans effet sur l'état métallurgique de la pièce (revenu, traitement de surface).

6. Hypothèses et limites

• Élasticité : les formules de Lamé supposent que les deux pièces restent élastiques. Si la contrainte équivalente du moyeu dépasse la limite d'élasticité, augmenter le serrage n'augmente plus le couple transmis.
• Pression uniforme : le calcul suppose un moyeu et un arbre de même longueur et une pression constante. En réalité, la pression se concentre aux bords du moyeu, ce qui compte en fatigue (corrosion de contact).
• Coefficient de frottement : les valeurs publiées pour l'acier sur acier vont d'environ 0,1 à plus de 0,2 selon les surfaces, la lubrification et le mode de montage. Le couple lui est proportionnel : sans donnée propre, une valeur basse donne un résultat prudent.
• Vitesse : à haute vitesse, la force centrifuge dilate le moyeu et réduit la pression ; ce calcul ne la prend pas en compte.

7. FAQ

Comment calculer la pression de contact d'un ajustement serré ?

Avec les formules de Lamé des cylindres épais. Pour un arbre plein et un moyeu du même matériau : p = E·δ/(2d) × (D² − d²)/D², où δ est le serrage diamétral, d le diamètre de contact et D le diamètre extérieur du moyeu. Pour deux matériaux différents ou un arbre creux, on utilise la formule générale qui fait intervenir E et ν de chaque pièce.

Quel couple peut transmettre un ajustement serré ?

T = μ·p·π·d²·L/2 : le couple vaut l'effort de frottement sur la surface de contact (μ·p·π·d·L) multiplié par le rayon d/2. Il se calcule avec le serrage minimal de l'ajustement, celui qui donne la plus petite pression.

Faut-il calculer avec le serrage minimal ou maximal ?

Avec les deux. Le serrage minimal fixe ce que l'assemblage transmet au minimum (couple, effort axial) ; le serrage maximal fixe les contraintes, en particulier la contrainte tangentielle au bord de l'alésage du moyeu, et l'effort de presse ou la température de frettage.

À quelle température chauffer un moyeu pour le frettage ?

ΔT = (δ + j)/(α·d) au-dessus de la température de l'arbre, où δ est le serrage maximal, j le jeu voulu au montage et α le coefficient de dilatation du moyeu. Pour un moyeu en acier de Ø 50 avec 0,042 mm de serrage et 0,05 mm de jeu : environ 153 K. Vérifiez que cette température reste compatible avec le traitement thermique de la pièce.

Quel coefficient de frottement prendre pour un frettage ?

Les valeurs publiées pour l'acier sur acier vont d'environ 0,1 à plus de 0,2 selon l'état des surfaces, la lubrification et le mode de montage. Sans donnée propre à votre cas, une valeur basse comme 0,1 donne un couple prudent ; la norme ou les essais de votre entreprise priment.